两点确定一条直线
两点之间的直线段最短。
同一角或等角的补角是相等的。
同角或等角的余角相等，这是一个几何学中的重要定理。在直角三角形、锐角三角形和钝角三角形中，余角定理都得到了证明。所以无论是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，都可以根据余角定理来求解问题。
经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
在几何学中，我们知道直线外一点到直线上的垂线段是最短的。
经过一点外的一条直线，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果有两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
同位角相等是指两条直线被一条横穿线相交形成一对同侧内角和同侧外角。由于同位角相等，可以得出两条直线是平行的。
两条直线平行时，它们的对应内角相等。
两条直线被一横穿的第三条直线所交叉，这两条直线中的同侧内角互补，表明这两条直线平行。
两条直线如果平行，则它们之间的同位角相等。
直线是指在平面上始端不终止的线段。两直线如果平行，那么它们之间的内错角是相等的。
两条直线平行时，它们同旁内角互补。
三角形两边的和大于第三边这一定理十分重要。它说明了三角形的边长之间的关系，是解决和计算三角形相关问题的基础。
三角形两边之差小于第三边是一个基本的三角形推论。
三角形内角和定理说明了三角形的三个内角的和等于180°。
直角三角形的两个锐角呈互余角。这是因为在任何直角三角形中，两个锐角的和总是等于90度。
推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明：设三角形ABC的外角为角CBA，而不相邻的两个内角分别为角ABC和角ACB。
根据三角形内角和等于180°的性质可得：角ABC + 角ACB=180°。
根据外角与其不相邻内角组成的线段的性质可得：角CBA=角ABC + 角ACB。
代入上述两式可得：角CBA=180°。
因此，得证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3告诉我们，三角形中的一个外角的大小要大于与它不相邻的任何一个内角的大小。
全等三角形的定义是指具有完全相同的形状和大小的三角形。这意味着如果两个三角形是全等的，那么它们的对应边和对应角都相等。
22 边角边公理(SAS) 表示如果两个三角形的两条边和它们夹角分别与另一个三角形的两条边和夹角相等，那么这两个三角形全等。
角边角公理（ASA）是指如果两个三角形中有两个角和它们的夹边分别相等，则这两个三角形全等。
两个三角形如果有着相同的两个角以及这两个角之间的对边长度相等，那么这两个三角形是全等的。
三角形边边边全等公理表明，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
HL公理是指当两个直角三角形的斜边和一个直角边相等时，这两个三角形是全等的。
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等，这是几何学中的一个重要定理，称为角的平分线定理。
定理2：在一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
角的平分线是指从角的顶点向角的两边所作的一条线段，这条线段与角的两边的距离相等。
等腰三角形的性质包括：等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这是一个常见的几何推论。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，这是因为等腰三角形具有一些特殊的性质。
等边三角形是指三条边都相等的三角形。根据推论3，等边三角形的每一个角都等于60°。
等腰三角形的判定定理可以描述为：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
三个角都相等的三角形是指三个角的大小都相等的三角形。这样的三角形被称为等边三角形。
在36条推论2 中，当一个三角形有一个角等于60°时，并且这个三角形是等腰三角形，那么根据36条推论2，该三角形一定是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。这个规律在解决一些直角三角形相关的计算问题时非常有用。
直角三角形的斜边上的中线等于斜边上的一半。这个性质在数学上是可以通过勾股定理和中线定理来证明的。
线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等的定理是39号定理。
逆定理指出，在一条线段的垂直平分线上，有一点与线段两个端点的距离相等。
线段的垂直平分线是指将一条线段垂直平分的直线，可以看作是所有距离线段两端点相等的点的集合。
定理1：如果两个图形关于一条直线对称，那么它们是全等的。
定理 2 表明，如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是连接相应点的垂直平分线。
定理3：如果两个图形关于某条直线对称，且它们的对应线段或延长线相交，那么交点必在对称轴上。
逆定理45：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边a和b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2。
勾股定理的逆定理指出，如果在一个三角形中，三条边的长度满足a2 + b2=c2，那么这个三角形一定是直角三角形。
四边形的内角和等于360°，这是一个公认的几何定理，被称为四边形内角和定理或者四边形角和定理。
四边形的外角和等于360°。这意味着四边形的四个外角相加等于360°。
多边形的内角和定理是一个非常重要的数学原理。根据这个定理，一个n边形的内角和等于(n-2)×180°，这对于研究多边形的性质和特征非常有帮助。
多边形的外角和总是等于360°。
平行四边形的性质之一是它的对角线相等。
平行四边形的对边相等是平行四边形的性质之一，也是其重要定理之一。
夹在两条平行线之间的平行线段相等是几何学中的一个重要推论。这一推论说明，如果一条直线与一对平行线相交，那么由这条直线截取出的平行线段长度相等。这个推论是基于平行线性质和三角形的一些性质得出的。
平行四边形的性质定理3是指平行四边形的对角线互相平分。
两组对角分别相等的四边形可以判定为平行四边形。
平行四边形判定定理2：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形就是一个平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。这是平行四边形判定定理3的内容。
一组对边平行相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形判定定理4。
矩形的性质定理1是：矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等是矩形的一个重要性质，可以帮助我们确定一个图形是否为矩形。
矩形判定定理是指：若一个四边形有三个角是直角，则它是一个矩形。
根据几何学原理，一个平行四边形的对角线相等的话，并不一定就是一个矩形。
菱形是一种特殊的四边形，其四条边都相等。
根据菱形的性质定理2，菱形的对角线互相垂直，同时每一条对角线平分一组对角。
菱形的面积可以用对角线的长度来计算，公式为S=(a×b)÷2，其中a和b分别是菱形的两条对角线的长度。
四边都相等的四边形是菱形，这是菱形的判定定理1。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，这是平行四边形的特殊情况。
正方形是一种特殊的四边形，它的四个角都是直角，四条边都相等。
正方形是一种特殊的四边形，它的四条边相等且四个角均为直角。另外，正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，也就是说，每条对角线平分一组对角。
中心对称的两个图形可以证明是全等的。
中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心所平分。这是中心对称的基本性质之一。
逆定理是指，如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
等腰梯形是一种特殊的梯形，它的两边边长相等。根据等腰梯形的性质定理，等腰梯形在同一底上的两个角相等。
一个等腰梯形的性质是其两条对角线相等。
等腰梯形判定定理指出，在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
梯形是一个四边形，它的两条平行边被称为上底和下底，而其它两条边则被称为腰。如果一个梯形的对角线相等，那么它就是一个等腰梯形。
平行线等分线段定理表明，如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
梢过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必然平分另一腰。
在一个三角形中，如果一条直线通过一个边的中点并且与另一边平行，那么这条直线将会平分这个三角形的第三条边。
三角形中位线定理指出，三角形的每条中位线都平行于第三边，且长度等于第三边长度的一半。
梢直角梯形是一种特殊的梯形。其中位线等于上底和下底之和除以2。即L=(a+b)÷2。同时，中位线平行于梯形的两底，并且等于中位线长度乘以梯形的高。即S=L×h。
比例的基本性质是：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d。
根据合比性质，如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d。
根据等比性质，当a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)时，有(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b。
平行线分线段成比例定理指的是：如果两条直线平行，它们分别交叉另外两条直线，那么它们交叉处的线段长度之比相等。
根据几何学中的一个推论，如果一条直线与三角形的一条边平行，并且截断了其他两条边（或其延长线），那么所得的两条对应线段是成比例的。
88 定理是几何学中的一个基本定理，描述了直线截三角形两边使得对应线段成比例时，这条直线与三角形的第三边平行。这个定理可以帮助我们理解几何图形中的平行关系。
一条直线与三角形的一条边平行，并且与其他两条边相交时，所截得的三角形的三条边与原来的三角形的三条边成比例。
根据90定理，如果一条直线与三角形的一条边平行，并且与其他两条边（或延长线）相交，那么由这条直线所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理1表明，如果两个三角形中的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。这也被称为“角-边-角”相似性判定定理(ASA)。
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。这个性质可以帮助我们解决一些三角形的性质和问题。
两个三角形如果它们的其中两条边成比例且夹角相等，那么这两个三角形是相似的（SAS相似判据）。
根据给定的条件，当两个三角形的三条边相互成比例时，这两个三角形是相似的。
如果两个直角三角形中，一个三角形的斜边与直角边的比值等于另一个三角形的对应斜边与直角边的比值，那么这两个直角三角形是相似的。这就是著名的95定理。
相似三角形的性质定理1指出，对于两个相似的三角形，它们的对应高的比、对应中线的比以及对应角平分线的比都等于它们的相似比。
根据相似三角形的性质定理2，相似三角形的周长的比等于它们对应边长的比。
相似三角形的面积比等于它们对应边长的比的平方。
任意锐角的正弦值等于该角的余角的余弦值，同样，任意锐角的余弦值等于该角的余角的正弦值。
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，而任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。
圆可被定义为所有距离圆心小于等于半径的点的集合。
圆心到外部点的距离大于圆的半径时，这些点可以被看作是圆的外部。
同一圆或等圆的半径是相等的。
半，所描述的轨迹是一个圆。
已知线段的两个端点为A和B，以及点P为线段AB的垂直平分线上的一点，根据题意，AP=BP。
根据已知条件，实际上可以得出这样一个结论：对于一个给定的角，如果一个点到这个角的两边距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上。
两条平行线之间距离相等的点的轨迹是一条与这两条平行线平行且距离相等的直线。
三点确定一个圆的定理是初中数学中圆的相关定理之一。根据该定理，如果三个点不在同一条直线上，那么可以确定一个唯一的圆。
垂径定理是指，一条垂直于弦的直径会将这条弦平分，并且将弦所对的两条弧也平分。
根据给定内容，新内容如下：
根据推论1，对于一个圆，如果平分弦（但不是直径）的直径垂直于弦，那么该直径将会平分弦对应的两条弧。另外，弦的垂直平分线会穿过圆心，并且也会平分弦所对的两条弧。此外，如果一个直径平分弦所对的一条弧，那么它还会垂直平分弦，并且也会平分弦所对的另一条弧。
根据给定的内容重新进行创作如下：
两条平行弦所夹的弧相等，这是圆的性质中的一个推论。
圆是以其圆心为对称中心的中心对称图形。
同一个圆内或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
在同一个圆或等圆内，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距有一组量相等，那么它们对应的其他各组量也相等。
圆周角等于它所对的圆心角的一半，这是一个数学定理。 circlex2它表明一个弧所对的圆周角的大小等于该弧所对的圆心角的一半大小。
根据给定的内容，我们知道同弧或等弧所对的圆周角相等，以及在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
根据几何学推论2，我们知道半圆或直径所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。
根据给定内容创作新的内容：
119 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。这个结论可以通过利用三角形中线的长度关系和直角三角形的性质进行证明。
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
证明：
设四边形ABCD是一个内接于圆的四边形，边AB，BC，CD，DA分别与圆相交于点E，F，G，H。
首先证明四边形的对角互补：
根据圆的性质，相交弦的对端角相等，因此∠A+∠C=∠E+∠G, ∠B+∠D=∠F+∠H.
又因为∠E+∠G+∠F+∠H=360度，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360度，即四边形内角和为360度，所以∠A+∠C=∠B+∠D=180度，说明对角互补。
其次证明任何一个外角都等于它的内对角：
对于外角∠A，它与对应的内角∠C构成一对共轭内外角，根据内外角性质可知∠A=∠C。
同理，对于外角∠B，它与对应的内角∠D构成一对共轭内外角，根据内外角性质可知∠B=∠D。
综上所述，圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
1. Assume that a line L intersects with a circle O at a point D; 2. Assume that a line L is tangent to the circle O at a point D, where d=r; 3. Assume that a line L is separate from the circle O, where d>r.
圆的切线的判定定理是经过圆的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。
圆的切线定理：一条直线如果与圆相切，则它与圆的半径垂直。
根据几何性质，可以推论出，经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
124 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125 推导2 垂直于切线且经过切点的直线必经过圆心。
圆外一点到圆的两条切线的切线长相等同于圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，这就是切线长定理。
圆的外切四边形的两组对边的和相等是指，四边形相对的两条边的和相等。
128 弦切角定理指出，一个弦所切开的角等于它所夹的弧所对应的圆周角。
弦所夹角等于弦切线所夹角的证明：
设AB和CD是圆的两条相交的弦，它们所夹的弧相等；
证明∠BOA=∠COD。
如图，连接OA，OD，OB，OC。
则OA=OD，OB=OC，∠BOA=∠COD。
△BOA ≌ △COD。
所以∠BOA=∠COD。
圆内的两条相交弦，其被交点分割的两段线段长度之积等于相等。
根据定理，如果一个弦与圆的直径垂直相交，那么弦的一半将是它所分割直径的两条线段的比例中项。
根据圆的切线定理得出，如果从圆外一点引一条切线和割线，那么切线的长度将等于这一点到割线与圆相交点的两条线段长度的几何平均数。
一个有趣的数学推论是，如果从圆的外部任意一点引两条切线，那么这一点到每条切线与圆的两个交点的距离的乘积是相等的。
两个相切的圆，它们的切点一定在它们的连心线上。
1. 两个圆的位置关系主要有五种情况：①两圆相离且距离大于它们的半径之和；②两圆外切且距离等于它们的半径之和；③两圆相交且距离小于它们的半径之和且大于它们的半径之差；④一个圆包含另一个圆，且它们的半径之差小于它们的距离且大于它们的半径之和；⑤一个圆完全包含在另一个圆内。
两圆的相交连心线垂直平分两圆的公共弦。这是一个基本的几何定理。
圆被分成n个相等的部分时，有以下结论：⑴ 依次连接各分点得到的多边形是这个圆的内接正n边形；⑵ 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
正多边形是指所有边相等、所有角相等的多边形。对于任何一个正多边形来说，它都可以被一个外接圆和一个内切圆所包围，这两个圆都是以正多边形中心为圆心的，因此它们是同心圆。
正多边形的每个内角都可以计算为：(n-2)×180°/n，其中n为多边形的边数。
根据140定理，一个正n边形的半径和边心距可以将这个正n边形分成2n个全等的直角三角形。
Sn=pnrn/2这个公式定义了一个正n边形的面积，其中p表示正n边形的周长。
一个正三角形的面积可以通过公式A=(a^2√3)/4来计算，其中a为边长。
143 如果一个顶点周围有k个边相等的n边形，那么这些角的和应为360°。因此，根据公式k×(n-2)180°/n=360°，化简得到 (n-2)(k-2)=4。
弧长的计算公式为L=πRθ/180，其中L表示弧长，R表示半径，θ表示圆心角的度数。
扇形的面积公式为S=πR^2n/360，其中R为半径，n为扇形的圆心角度数。
内公切线长与外公切线长分别等于 d-(R-r) 和 d-(R+r)。
